Показать, что функция y2−x2−Cy=0 является общим интегралом дифференциального уравнения y′(x2+y2)−2xy=0

Для того, чтобы показать, что функция y2 − x2 − Cy = 0 является общим интегралом дифференциального уравнения y′(x2+y2)−2xy=0, необходимо доказать, что ее производная по x равна нулю, когда она подставляется в уравнение.

Для этого найдем производную функции y2 − x2 − Cy по x:

d/dx (y2 — x2 — Cy) = (-2x) + 0 — C*(dy/dx)

Заметим, что уравнение y′(x2+y2)−2xy=0 можно переписать в виде:

y’ = (2xy)/(x^2 + y^2)

Подставляя y2 − x2 − Cy = 0 в уравнение, получаем:

y’ = (2xy)/(x^2 + y^2) = (2xy)/(x^2 + (y2 — x2 — C)^2)

Для дальнейших вычислений, заметим, что:

x^2 + (y2 — x2 — C)^2 = y^2 + (C-x^2)^2

Теперь возьмем производную от y2 − x2 − Cy по x и подставим y’ вместо (dy/dx):

d/dx (y2 — x2 — Cy) = (-2x) + 0 — C*(dy/dx) = (-2x) + 0 — C*(2xy)/(x^2 + (y2 — x2 — C)^2)

Так как мы знаем, что y2 − x2 − Cy = 0, мы можем заменить y2 — x2 на C, что дает:

d/dx (y2 — x2 — Cy) = (-2x) + 0 — C*(2xy)/(x^2 + (C — x^2)^2) = (-2x) + 0 — C*(2x)/y^2 * (y^2 + (C-x^2)^2)/(C — x^2)

Заметим, что выражение в скобках равно 1, так как y2 − x2 = C. Поэтому производная равна нулю:

d/dx (y2 — x2 — Cy) = (-2x) + 0 — C*(2x)/y^2 = -2x + 2x = 0

Таким образом, мы показали, что производная функции y2 − x2 − Cy по x равна нулю, когда она подставляется в уравнение y′(x2+y2)−2xy=0. Следовательно, функция y2 − x2 − Cy = 0 является общим интегралом этого дифференциального уравнения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Яндекс.Метрика